Berechnung von längenbezogenen Wärmedurchgangskoeffizienten mit drei Temperaturrandbedingungen

Drei Temperaturrandbedingungen treten für die Berechnung von Wärmebrücken in Zusammenhang mit der DIN 4108 immer dann auf, wenn neben dem beheizten Raum und der Außenumgebung noch ein weiterer Raum zu berücksichtigen ist, was regelmäßig bei erdberührten Bauteilen und Wände/Decken gegen unbeheizte und/oder niedrig beheizte Räume der Fall ist. Die DIN EN ISO 10211 enthält im Anhang C eine Methodik, wie in diesen Fällen vorzugehen ist, um die Leitwerte den Umfassungsflächen richtig zuzuordnen: die sogenannte Leitwert-Matrix. Nehmen wir uns das Beispiel eines Raumes vor, der sowohl an die Außenluft als auch an einen unbeheizten Kellerraum grenzt. Die Temperatur des Kellerraumes wird mit 15 °C, die des beheizten Innenraumes mit 20 °C und die äußere Temperatur mit 0 °C festgesetzt (entspricht hier nicht den Randbedingungen nach DIN 4108, sondern ist zunächst willkürlich festgesetzt).

Für die Berechnung der Leitwertmatrix werden nach DIN EN ISO 10211 drei Berechnungen notwendig, in deren Verlauf jeweils ein Raum die Temperatur 1 °C, alle anderen Räume die Temperatur 0 °C erhalten. Das folgende Bild zeigt die Ergebnisse dieser Berechnungen.

Die mit Psi-Therm errechneten Ergebnisse für die Wärmeströme der Räume sind in der nachfolgenden Übersicht dargestellt.

Aus diesen Wärmeströmen resultiert eine Leitwertmatrix, die in der folgenden Tabelle als Übersicht dargestellt ist.

Die Summe der einzelnen raumbezogenen Leitwerte hat null zu betragen, wir machen dazu die Plausibilitätskontrolle:

Raum2 : 1.735 – 1.598 – 0,137 = 0.0

Raum3 : -1.599 + 1.734 – 0.143 = 0.001

Raum4: 0.281-0.136-0.144 = 0.001

Diese Bedingung ist also erfüllt. Mit der Leitwertmatrix können die einzelnen Wärmeströme berechnet werden.

Gegeben sind Raumtemperaturen ( 3 Temperaturrandbedingungen ):

Raum2: 15 °C; Raum2: 20 °C; Raum 3 = 0 °C

Q2 = -1.598 • (15-20) + -0.136 •(15-0) = 7.99 – 2.01 = 5.96 W/m

Q3 = -1.598 • (20-15) + -0.144 • (20-0) = -7.99 – 2.88 = -10.87 W/m

Q4 = -0.136 • (0-15) + -0.144 • (0-20) = 2.04 + 2.88 = 4.92 W/m

Sind die Wärmeströme berechnet, so kann daraus der Gesamtwärmestrom und der korrespondierende ψ-Wert ermittelt werden.

Gesamtwärmestrom vom Innenbereich nach außen:

Q = Q(2,4)+Q(3,4) = -0.136*(15-0)–0,144*(20-0) = -2.04-2.88 = 4.91 W/mK (= -Q4 )

L2D = | L2D(2,4) + L2D(3,4) | = |-0.136 – 0,144| = 0.28 W/(mK)

Psi = 0.28–1.6*0.160 = 0.28–0.256 = 0.024 W/(mK)

Die Leitwertmatrix ist Bestandteil der Berechnung mit Psi-Therm Enterprise. Wie aus der vorstehenden Berechnung zu ersehen, ist die Leitwert-Matrix bei unterschiedlichen Temperaturen der angrenzenden Räume wichtig, wenn ein Gesamt-ψ-Wert für den Anschluss unter Beachtung der unterschiedlichen Temperierung der Räume und der daraus folgenden aufgeteilten Wärmestromrichtungen ermittelt werden soll. Dieser Fall wäre unter Beachtung der Randbedingungen nach deutschen Norm immer dann gegeben, wenn der angrenzende Raum selbst auch beheizt wird, sich die Temperatur im geringer temperierten Raum also nicht aus dem Wärmestrom des höher temperierten Raumes ergibt. Beispielhaft sei an dieser Stelle die Situation in einem Gebäude genannt, welches sowohl über normal beheizte als auch über niedrig beheizte Räume verfügt. Soll hier ein Anschluss berechnet werden wie oben aufgeführt, so wäre die vorstehend erläuterte Vorgehensweise notwendig. Dieser Fall kommt aber bei der Wärmebrückenberechnung unter Beachtung der nationalen DIN 4108 nur selten vor, Beiblatt 2 enthält für diesen Fall überhaupt keine Werte. Dies rechtfertigt eine spätere Implementierung dieser Aufgabenstellung. In allen anderen Fällen, in den die niedrigere Temperatur in einem angrenzenden Raum dadurch zustande kommt, dass die Wärme vom höher temperierten Raum dort hinfließt, muss uns in der ψ-Wert-Berechnung die Leitwertmatrix nicht interessieren, da wir über den ψ-Wert nur die zusätzlichen Verluste des normal temperierten Innenraumes – also beheizten – Innenraumes berechnen wollen. Welchen Wärmestrom der unbeheizte Raum an z.B. die Außenluft aufweist, ist nicht relevant.

In allen anderen Fällen, in den die niedrigere Temperatur in einem angrenzenden Raum dadurch zustande kommt, dass die Wärme vom höher temperierten Raum dort hinfließt, muss uns in der ψ-Wert-Berechnung die Leitwertmatrix nicht interessieren, da wir über den ψ-Wert nur die zusätzlichen Verluste des normal temperierten Innenraumes – also beheizten – Innenraumes berechnen wollen. Welchen Wärmestrom der unbeheizte Raum an z.B. die Außenluft aufweist, ist nicht relevant.

Ähnlich verhält es sich mit den an das Erdreich grenzenden Wärmebrücken, auch hierist nur der Gesamtwärmestrom des beheizten Innenraumes an die Umgebung interessant. Das folgende Beispiel erläutert die üblicherweise zu wählende Vorgehensweise anhand eines Details zum Erdreich: Wird die Beantwortung anderer Aufgabenstellungen benötigt, so bietet Psi-Therm schon heute mit der Ausgabe der Wärmeströme und unter Zugrundelegung des zuvor Gesagten alle Möglichkeiten einer ingenieurmäßigen Beantwortung durch den Nutzer.

Beispiel: Kalksandsteinwand 17, cm (λ=1,1 W/(mK)) mit 100 mm Außendämmung (λ=0,04 W/(mK)), Fußbodendämmung 60 mm (λ=0,04 W/(mK)), Stirndämmung 60 mm. Innen- und Außenputze bleiben unberücksichtigt. Kimmstein Höhe: 12,5 cm

Schritt 1: Eröffnung eines neuen Bauteils in unserer Bauteildatei

Beachte: Soll das neue Detail einen anderen Maßstab bekommen, so auf dem neuen Arbeitsblatt → rechte Maustaste → Eigenschaften → gewünschten Maßstab einstellen.

Die Umstellung auf einen anderen Maßstab kann auch später vorgenommen werden.

Schritt 2: Eingabe des Details

Wir werden das Detail mit den Randbedingungen nach Beiblatt 2 berechnen. Demnach sind – zumindest für die ψ-Wert-Berechnung – keine Erdkörper nach Bild 8 vorzusehen

Die Randbedingungen nach Beiblatt 2:

Die Eingabe erfolgt, so wie im Beispiel 1, unter Zuhilfenahme von Hilfslinien.

Hinweis: Der ein oder andere Nutzer wird sicherlich schnell herausbekommen, dass die Bauteile auch direkt über die Button und eingegeben werden können. Das sollte in den meisten Fällen auch keine Probleme machen, nur: Das Programm braucht zur Berechnung klar zugeordnete Randbedingungen an den Ränder – sie erinnern sich: wir haben diese Naumann oder Robin genannt. Wird ein Modell mit den oben aufgezeigten Button gezeichnet, so kann es vorkommen, dass einzelne Elemente nicht exakt miteinander verbunden werden, die Berechnung kann dann nicht korrekt erfolgen. Tipp: Eingabe immer über Hilfslinien.

Das mit Hilfslinien gezeichnete Modell:

Schritt 3: Zuordnung der Randbedingungen

Es wird für dieses Beispiel die Berechnung mit Temperaturfaktoren gezeigt, die sich aus den f-Werten nach Beiblatt 2 ergeben. Für den Innenraum ist f=1, für den Außenbereich = 0 und für den Bereich unterhalb der Bodenplatte ergibt sich f aus F, den wir an dieser Stellen mit 0,6 annehmen. Diese Vorgehensweise erlaubt ein Verzicht auf die genaue Berechnung der anliegenden Temperatur unterhalb der Bodenplatte.

In der nachfolgenden Darstellung wird die Zuordnung einer Randbedingung für den Bereich unterhalb der Bodenplatte dargeboten. Die Randbedingungen für die Berechnung der minimalen Oberflächentemperatur ergeben sich ebenfalls aus den nach Beiblatt 2 definierten Umgebungstemperaturen. Für dieses Beispiel ignorieren wir die Randbedingungen für die Berechnung der Oberflächentemperatur, da die fRSI-Berechnung mit einem zusätzlichen Erdkörper erfolgen muss, also nicht automatisch mit der Übernahme der Geometrie aus der ψ-Wert-Berechnung realisiert werden kann.

Die nachfolgende Abbildung zeigt nochmals die verwendeten Temperaturfaktoren als Übersicht.

Schritt 4: Zuordnung der ungestörten U-Werte und der Wirkungslängen

Im Gegensatz zum ersten Beispiel sind hier 2 U-Werte, der U-Wert der Bodenplatte und der der U-Wert der Wand, zuzuordnen. Die anzunehmenden Wirkungslängen in Übereinstimmung mit den Randbedingungen nach Beiblatt 2 zeigt die nachfolgenden Abbildung.

Die vom Programm ermittelten U-Werte und die angesetzten Wirkungslängen:

Mit diesen Eingaben kann nunmehr der ψ-Wert vom Programm ermittelt werden.

Schritt 5: Ermittlung des Psi-Wertes

Nach der Betätigung des Berechnungsbutton erfolgt die Lösung des Gleichungssystems. Der durch das Programm ermittelte L2D-Wert beträgt 0,681 W/(mK), der ψ-Wert -0,395 W(mK).

Die Neumann-Randbedingung ist, wie im Kapitel „mathematische Grundlagen“ beschrieben, für die jeweils adiabaten Schnittebenen angewendet worden.